PANFILO & las Matemáticas: SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

RESEÑA HISTÓRICA

Las principales consideraciones geométricas son muy antiguas y, al parecer, se originaron en observaciones realizadas por el hombre, gracias a su habilidad para reconocer y comparar formas y tamaños.

Muchas circunstancias en la vida humana, aún en la edad primitiva, condujeron a numerosos descubrimientos geométricos: la noción de distancia fue, sin duda alguna, uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos; la estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo, originalmente, a observar que la recta constituye la trayectoria más corta de un punto a otro; incluso, por intuición, la mayoría de los animales se da cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos llevaron al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas.

También muchas observaciones en la vida diaria pudieron haber conducido a los primeros seres humanos al concepto de curvas, superficies y sólidos. Por ejemplo, los casos de circunferencia fueron numerosos: la periferia del sol, de la luna, las ondas que se forman al lanzar una piedra en un estanque de agua, entre otros. La noción de secciones cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas, pudo haber sido insinuada por las sombras producidas por el sol o una antorcha. Los alfareros primitivos hicieron sólidos de revolución. Además, el cuerpo del hombre, de los animales, las flores y las hojas de muchas plantas, las conchas marinas y algunos frutos, sugieren la noción de simetría. La idea de volumen viene de manera casi inmediata, al considerar y fabricar recipientes para contener agua, aceite, cereales y otros alimentos de consumo diario.

La civilización babilónica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia, en un período que comienza hacia el año 5000 A.C. y termina en los primeros tiempos del cristianismo. Uno después de otro, estos pueblos: sumerios, arcádicos, caldeos, asirios, babilonios y otros, contribuyeron a establecer las características de la civilización babilónica. Más exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural entre los años 2000 y 550 A.C.; incluso después de la toma de Babilonia por el conquistador persa Ciro, en el año 538 A.C., la evolución de las matemáticas babilónicas continuó durante la llamada época “seléucida”, cuyo fin coincide aproximadamente con el nacimiento de Cristo.

La Geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.

Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la Tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

La geometría no era una disciplina especial, sino que era tratada igualmente que a cualquier otra forma de relación numérica entre objetos de uso práctico. Entre los resultados geométricos conocidos en Mesopotamia, se encuentran métodos para calcular el área de un círculo, con muy buenas aproximaciones del número. (Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros, los calculaba multiplicando el área de la base por la altura. Tenían fórmulas para determinar el volumen de un tronco de cono y pirámides cuadrangulares truncadas.

Los geómetras babilónicos estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, y comprendían su principio general. Conocían también el teorema; atribuido a Tales de Mileto; según el cual el ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Además, sabían que “los lados correspondientes de dos triángulos rectángulos semejantes son proporcionales”, y que “la perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes iguales”.

También los geómetras egipcios hicieron su aporte a la civilización griega. La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los diferentes papiros hace referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes. El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Los egipcios estaban acostumbrados a transformaciones que usan la semejanza de rectángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles. Calculaban también el volumen de cilindros y prismas, pero desconocían el teorema de Pitágoras en su formulación general. Poseían una buena aproximación del número.

La semejanza y la proporcionalidad no les eran desconocidas a los geómetras egipcios. En el siglo XIII A.C., dos figuras similares, aunque de dimensiones diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitación donde se encuentra la tumba de Seti I.

En el papiro de Moscú, se encuentra un enunciado que evidencia el conocimiento de la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. Se han dado varias explicaciones, pero es difícil, incluso hoy, tratar de saber el método empleado por los egipcios y como llegaron a obtener esa fórmula. Los papiros existentes proporcionan poca información sobre la geometría egipcia y las propiedades matemáticas de la pirámide de base cuadrada. Lo que sí se sabe con certeza, es que los autores de esos documentos históricos egipcios, sabían calcular la pendiente de los lados de una pirámide y su volumen. La construcción de las pirámides fue, para ellos, la ocasión de utilizar el equivalente de nuestra cotangente.

Es interesante observar que en la matemática egipcia y babilónica, no se encuentra un solo caso de lo que hoy se llama demostración. En lugar de una argumentación general, se encuentra una descripción detallada de un procedimiento aplicado a un caso particular. Unos cuantos siglos antes de Jesucristo, toda la sabiduría empírica acumulada por egipcios y babilonios, en especial las matemáticas, pasa a poder de los griegos; pero éstos, a diferencia de aquellos, pusieron gran empeño en concluir los hechos geométricos, no sólo de manera empírica, sino, primordial y casi exclusivamente, con base en razonamientos deductivos.

Fue Tales de Mileto, uno de los primeros pensadores griegos, que vivió hacia el año 600 A.C., quien llevó la geometría de Egipto a Grecia. Y si bien egipcios y babilonios, elaboraron los primeros conceptos geométricos, los griegos transformaron un considerable número de conocimientos particulares, no sistematizados y aproximados, en una disciplina rigurosa basada en la lógica. Sea como sea, lo que sabemos hoy en día indica que la matemática mesopotámica estaba más desarrollada que la egipcia, y que su influencia en los primeros siglos de la cultura Helénica fue decisiva. De todas maneras, todas esas culturas tuvieron una gran interacción, y no hay duda de que, igualmente, todas las ideas tuvieron una gran difusión entre los griegos, que posteriormente las divulgaron por muchos países.

DEFINICIÓN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.

Superficie de revolución.

v Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.

v Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vérticeo ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono

v Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferncia alrededor de su diámetro ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera

v Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunfercnia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro

CILINDRO

En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuadricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro

Elementos de un cilindro

Cálculo del área

Si se desarrolla la superficie lateral del cilindro de radio r y de altura h, se obtiene una superficie plana que es un rectángulo. El largo del rectángulo es igual a la longitud de las circunferencias que limitan las bases (L= 2πr ) y su altura es igual a la altura del cilindro.

Por tanto el área lateral (AL) del cilindro es igual al área del rectángulo ABCD obtenido.

El área total (AT) del cilindro es igual a la suma del área lateral y las de sus dos bases.

Sustituyendo

Se obtiene:

Cálculo del volumen

El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura:

CONO

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

Elementos de un Cono

Área del cono

Si se desarrolla la superficie lateral del cono de radio r, generatriz g y altura h, se obtiene una superficie plana que es un sector circular de radio g, determinado por un arco b cuya longitud es igual a la longitud de la circunferencia de la base: b = 2πr.

Por tanto:

El área lateral del cono es igual al área del sector circular así obtenido. El área del sector circular se calcula utilizando la proporción siguiente:

Sustituyendo en (1)

Cálculo de su volumen

La relación que existe entre los volúmenes de un prisma y el de una pirámide que tengan iguales las bases y la altura, es la misma que existe entre los volúmenes de un cilindro y un cono que cumplan estas mismas condiciones.

O sea: el volumen de un cono de radio r y altura h es igual a la tercera parte del volumen del cilindro de igual radio y altura.